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論「敵不動」和納殊均衡——從12碼罰球說起(文:程騰歡) (09:00)

高手過招,民間智慧認為「敵不動,我不動;敵欲動,我先動」(下作「敵不動」)為最高境界。「敵不動」吸引人之處可能是它有點玄,好像只可意會,不可言傳。正因如此,「敵不動」讓大家有足夠空間各自演繹,而又不至拾人牙慧。但各自表述難免令到討論變得空泛,並不是探討「敵不動」的最佳方法。為免流於空泛,本文以一個真實個案探討「敵不動」的含義,和它與對策論(game theory)的關係。

對策論探討12碼賽局

12碼罰球是一個射手和門將之間的兩人賽局。射手可選擇射左或射右(射中間的情况甚為少有),而門將可撲左或撲右(立定中間的情况亦鮮有)。入球令射手一方得一分,不入球雙方分數不變,是一個「零和賽局」(zero-sum game)。

以上賽局一共有4個不同組合:(1)射左,撲左;(2)射左,撲右;(3)射右,撲左;(4)射右,撲右。不同組合有不同入球率,如「射左,撲左」入球率遠低於「射左,撲右」。入球率可用實際數字估計,以下是基於職業足球賽中1800個12碼罰球的估計(註):「射左,撲左」的入球率是0.58;「射左,撲右」的入球率是0.95;「射右,撲左」的入球率是0.93;「射右,撲右」的入球率是0.70。對策論把這個賽局歸納為一個「賽局表」(game table;見圖)。

表內的數字有正有負。射手一方為正數,表示入球率愈高愈好;門將一方為負數,表示入球率愈低愈好。一正一負,兩個數字的總和剛好是零,所以是「零和賽局」(表內的英文字母見下一段解釋)。

很明顯,12碼罰球射手不會一定射左。假設他一定射左,門將一定撲左,把入球率降至0.58。同一道理,他不會一定射右。結論是他有機會射左(p是射左機會率),也有機會射右(1-p是射右機會率)。同樣的結論亦適用於門將:他有機會撲左(q是撲左機會率),也有機會撲右(1-q是撲右機會率)。

在此賽局,建議射手不動聲色,以免露出破綻,被門將猜中他的射門意向,是合理的。同樣地,門將也應不動聲色,免被射手猜中他的撲球意向。如果「敵不動,我不動」的意思是雙方不動聲色,免被對手找出破綻、有機可乘,這是對職業足球員應分的要求。

「敵不動」的下半句是「敵欲動,我先動」,這半句的意思好像是一動聲色便會暴露破綻,讓對手有機可乘。為什麼一動聲色便會出錯?這卻不容易理解。

其實,一動聲色可以有不同的後果。一動聲色可以暴露破綻,讓對手有機可乘,這與「敵欲動,我先動」脗合。一動聲色也可以是策略性的,露出假破綻,製造陷阱,讓對手中計。如果「敵欲動」是個陷阱,建議「我先動」豈不是中計?

當然,以上分析並不完全,因為對手也可以假意中計,設下計中計陷阱,反而令你中計。既然對手有計中計,你當然可以用計中計中計應付;但對手不是弱者,難道他不懂以計中計中計中計回應……這種討論很玄,已超出本文範圍。

綜合以上討論,「敵不動,我不動;敵欲動,我先動」的意思好像是要不動聲色,以免露出破綻;如果對手露出破綻,便要立刻把握機會,爭取勝算。但到底什麼是「破綻」?對策論可提供答案。

根據前文分析,射手一定射左(即射左機會率p=1)有「破綻」,因為門將一定撲左,把入球率降低至0.58。同一道理,一定射右(即p=0)也有破綻(因門將一定撲右,降低入球率)。

其實,射左機會率p不能太接近1;當p十分接近1時,門將便有機可乘,一定撲左,把入球率降至接近0.58。同樣地,p也不能太接近0;當p十分接近0時,門將便有機可乘,一定撲右,把入球率降至接近0.7。由此可見,p應該是一個平衡值,令門將不會一定撲左,也不會一定撲右。

納殊均衡與實際行為基本一致

計算p的平衡值的方法,是先求出門將撲左和撲右的入球率,然後將兩個入球率相等(即門將不會一定撲左,也不會一定撲右),便可得到p=0.39(p的平衡值)。用同樣的方法,可算出q的平衡值(q=0.42)。p=0.39和q=0.42,便是此賽局的納殊均衡(Nash equilibrium)。

納殊均衡建議射手射左機會率0.39(射右機會率0.61),建議門將撲左機會率0.42(撲右機會率0.58)。實際情况又如何?根據同一組數據(見第3段),射手射左的頻率是0.4(和納殊均衡只相差0.01),而門將撲左的頻率是0.42(和納殊均衡一樣),納殊均衡原來如此精確。

本文嘗試把「敵不動」應用於一個真實的12碼罰球賽局,得到一些合理的建議,卻不夠具體。後來借助對策論,計算出納殊均衡,把「敵不動」的建議化虛為實;除了十分具體,納殊均衡還十分精確,和職業足球員的實際行為基本完全一致。

註:有關文獻和細節見David Easley and Jon Kleinberg(2010), Networks, Crowds, and Markets: Reasoning about a Highly Connected World一書第6章

作者是香港大學經濟及工商管理學院副教授

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